Selesaikan 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 7x^{2}+ax+bx-78. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -546.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=-21 b=26$$

Tulis semula 7x^{2}+5x-78 sebagai \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Faktorkan 7x dalam kumpulan pertama dan 26 dalam kumpulan kedua.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-3=0 dan 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 7 dengan a, 5 dengan b dan -78 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Kuasa dua 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Darabkan -4 kali 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Darabkan -28 kali -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Tambahkan 25 pada 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Ambil punca kuasa dua 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Darabkan 2 kali 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±47}{14} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Bahagikan 42 dengan 14.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±47}{14} apabila ± ialah minus. Tolak 47 daripada -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Kurangkan pecahan \frac{-52}{14} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Tambahkan 78 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Menolak -78 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Tolak -78 daripada 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

Membahagi dengan 7 membuat asal pendaraban dengan 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Bahagikan \frac{5}{7} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{14}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{14} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{14} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Tambahkan \frac{78}{7} pada \frac{25}{196} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Tolak \frac{5}{14} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$