Selesaikan 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 7 dengan a, 4 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Darabkan -4 kali 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Tambahkan 16 pada -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Ambil punca kuasa dua -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Darabkan 2 kali 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Bahagikan -4+2i\sqrt{3} dengan 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{3} daripada -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Bahagikan -4-2i\sqrt{3} dengan 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Membahagi dengan 7 membuat asal pendaraban dengan 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Bahagikan \frac{4}{7} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{2}{7}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{2}{7} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{2}{7} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Tambahkan -\frac{1}{7} pada \frac{4}{49} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Tolak \frac{2}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$