Selesaikan 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Selesaikan untuk t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4.15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0.412160422$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 7 dengan a, -32 dengan b dan 12 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Kuasa dua -32.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Darabkan -4 kali 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Darabkan -28 kali 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Tambahkan 1024 pada -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Ambil punca kuasa dua 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Nombor bertentangan -32 ialah 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Darabkan 2 kali 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} apabila ± ialah plus. Tambahkan 32 pada 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Bahagikan 32+4\sqrt{43} dengan 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} apabila ± ialah minus. Tolak 4\sqrt{43} daripada 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Bahagikan 32-4\sqrt{43} dengan 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

Menolak 12 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

Membahagi dengan 7 membuat asal pendaraban dengan 7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Bahagikan -\frac{32}{7} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{16}{7}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{16}{7} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{16}{7} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Tambahkan -\frac{12}{7} pada \frac{256}{49} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Faktor t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Permudahkan.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Tambahkan \frac{16}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$