Selesaikan 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 64 dengan a, 24\sqrt{5} dengan b dan 33 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Kuasa dua 24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Darabkan -4 kali 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Darabkan -256 kali 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Tambahkan 2880 pada -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Ambil punca kuasa dua -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Darabkan 2 kali 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} apabila ± ialah plus. Tambahkan -24\sqrt{5} pada 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Bahagikan -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} dengan 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} apabila ± ialah minus. Tolak 8i\sqrt{87} daripada -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Bahagikan -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} dengan 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Tolak 33 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Menolak 33 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Membahagi dengan 64 membuat asal pendaraban dengan 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Bahagikan 24\sqrt{5} dengan 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Bahagikan \frac{3\sqrt{5}}{8} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3\sqrt{5}}{16}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3\sqrt{5}}{16} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Kuasa dua \frac{3\sqrt{5}}{16}.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Tambahkan -\frac{33}{64} pada \frac{45}{256} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Tolak \frac{3\sqrt{5}}{16} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$