Selesaikan 636=5n+4n^2

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Selesaikan untuk n

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13.25$$

$$n=12$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$5n+4n^{2}=636$$

Tolak 636 daripada kedua-dua belah.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4n^{2}+an+bn-636. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -2544.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=-48 b=53$$

Tulis semula 4n^{2}+5n-636 sebagai \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right).

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Faktorkan 4n dalam kumpulan pertama dan 53 dalam kumpulan kedua.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-12 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-12=0 dan 4n+53=0.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$5n+4n^{2}=636$$

Tolak 636 daripada kedua-dua belah.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 5 dengan b dan -636 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Tambahkan 25 pada 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-5±101}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

Bahagikan 96 dengan 8.

$$n=12$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-5±101}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 101 daripada -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-106}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$n=-\frac{53}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$5n+4n^{2}=636$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+5n=636$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

Bahagikan 636 dengan 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Bahagikan \frac{5}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Tambahkan 159 pada \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

Faktor n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Permudahkan.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

Tolak \frac{5}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$