Selesaikan 6z^2-11z=-7z-4

$$6 z ^ { 2 } - 11 z = - 7 z - 4$$

Selesaikan untuk z

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3}\approx 0.333333333+0.745355992i$$

$$z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0.333333333-0.745355992i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Tambahkan 7z pada kedua-dua belah.

$$6z^{2}-11z+7z=-4$$

Gabungkan -11z dan 7z untuk mendapatkan -4z.

$$6z^{2}-4z=-4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$6z^{2}-4z+4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, -4 dengan b dan 4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Kuasa dua -4.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24\times 4}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali 4.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-96}}{2\times 6}$$

Tambahkan 16 pada -96.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-80}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua -80.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

Nombor bertentangan -4 ialah 4.

$$z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan 4 pada 4i\sqrt{5}.

$$z=\frac{4+4\sqrt{5}i}{12}$$

Bahagikan 4+4i\sqrt{5} dengan 12.

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 4i\sqrt{5} daripada 4.

$$z=\frac{-4\sqrt{5}i+4}{12}$$

Bahagikan 4-4i\sqrt{5} dengan 12.

$$z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3} z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Tambahkan 7z pada kedua-dua belah.

$$6z^{2}-11z+7z=-4$$

Gabungkan -11z dan 7z untuk mendapatkan -4z.

$$6z^{2}-4z=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6z^{2}-4z}{6}=-\frac{4}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$z^{2}+\left(-\frac{4}{6}\right)z=-\frac{4}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z=-\frac{4}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z=-\frac{2}{3}$$

Bahagikan -\frac{2}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z+\frac{1}{9}=-\frac{2}{3}+\frac{1}{9}$$

Tambahkan -\frac{2}{3} pada \frac{1}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$z^{2}-\frac{2}{3}z+\frac{1}{9}=-\frac{5}{9}$$

Faktor z^{2}-\frac{2}{3}z+\frac{1}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{9}}$$

Permudahkan.

$$z-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{5}i}{3} z-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{5}i}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3} z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}$$