Selesaikan 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 40 daripada kedua-dua belah.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 6x^{2}+ax+bx-40. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-16 b=15$$

Tulis semula 6x^{2}-x-40 sebagai \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-8=0 dan 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}-x=40$$

Tolak 40 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Menolak 40 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, -1 dengan b dan -40 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Tambahkan 1 pada 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±31}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{32}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±31}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 31 daripada 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{40}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Bahagikan -\frac{1}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Tambahkan \frac{20}{3} pada \frac{1}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Tambahkan \frac{1}{12} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$