Selesaikan 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 6x^{2}+ax+bx-15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-10 b=9$$

Tulis semula 6x^{2}-x-15 sebagai \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-5=0 dan 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}-x=15$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Menolak 15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, -1 dengan b dan -15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Tambahkan 1 pada 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±19}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{20}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±19}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 19 daripada 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{15}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Bahagikan -\frac{1}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{1}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Tambahkan \frac{1}{12} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$