Selesaikan 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-20. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -3.

$$a=-8 b=5$$

Tulis semula 2x^{2}-3x-20 sebagai \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-4=0 dan 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, -9 dengan b dan -60 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Kuasa dua -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Tambahkan 81 pada 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

Nombor bertentangan -9 ialah 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{9±39}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan 9 pada 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Bahagikan 48 dengan 12.

$$x=4$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{9±39}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 39 daripada 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Menolak -60 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Tolak -60 daripada 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-9}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Bahagikan 60 dengan 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Bahagikan -\frac{3}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Tambahkan 10 pada \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$