Selesaikan 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 6x^{2}+ax+bx-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-9 b=2$$

Tulis semula 6x^{2}-7x-3 sebagai \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Faktorkan 3x dalam 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-3=0 dan 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, -7 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Tambahkan 49 pada 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±11}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{18}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±11}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Menolak -3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Tolak -3 daripada 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{3}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Bahagikan -\frac{7}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{49}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Tambahkan \frac{7}{12} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$