Selesaikan 6x^2-14x-9=0

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2.858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0.524815261$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, -14 dengan b dan -9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Kuasa dua -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

Tambahkan 196 pada 216.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 412.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Nombor bertentangan -14 ialah 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan 14 pada 2\sqrt{103}.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

Bahagikan 14+2\sqrt{103} dengan 12.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{103} daripada 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

Bahagikan 14-2\sqrt{103} dengan 12.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Menolak -9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

Tolak -9 daripada 0.

$$6x^{2}-14x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{9}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

Bahagikan -\frac{7}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada \frac{49}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

Tambahkan \frac{7}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$