Selesaikan 6x^2+7x+2=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 6x^{2}+ax+bx+2. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 7.

$$a=3 b=4$$

Tulis semula 6x^{2}+7x+2 sebagai \left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right).

$$\left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(2x+1\right)+2\left(2x+1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x+1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x+1=0 dan 3x+2=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, 7 dengan b dan 2 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Kuasa dua 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Tambahkan 49 pada -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 1.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{-7±1}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±1}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan -7 pada 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-6}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±1}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 1 daripada -7.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-8}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}+7x+2-2=-2$$

Menolak 2 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}+7x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Bahagikan \frac{7}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada \frac{49}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Tolak \frac{7}{12} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$