Selesaikan 6x^2+19x+15

$$6 x ^ { 2 } + 19 x + 15$$

Faktor

$$\left(2x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 6x^{2}+ax+bx+15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=19 ab=6\times 15=90$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 19.

$$a=9 b=10$$

Tulis semula 6x^{2}+19x+15 sebagai \left(6x^{2}+9x\right)+\left(10x+15\right).

$$\left(6x^{2}+9x\right)+\left(10x+15\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(2x+3\right)+5\left(2x+3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x+3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}+19x+15=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\times 15}}{2\times 6}$$

Kuasa dua 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\times 15}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\times 15}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali 15.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-360}}{2\times 6}$$

Tambahkan 361 pada -360.

$$x=\frac{-19±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 1.

$$x=\frac{-19±1}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{-19±1}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-19±1}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan -19 pada 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-19±1}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 1 daripada -19.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-20}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan -\frac{3}{2} dengan x_{1} dan -\frac{5}{3} dengan x_{2}.

$$6x^{2}+19x+15=6\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$6x^{2}+19x+15=6\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$6x^{2}+19x+15=6\times \frac{2x+3}{2}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$6x^{2}+19x+15=6\times \frac{2x+3}{2}\times \frac{3x+5}{3}$$

Darabkan \frac{2x+3}{2} dengan \frac{3x+5}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$6x^{2}+19x+15=6\times \frac{\left(2x+3\right)\left(3x+5\right)}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$6x^{2}+19x+15=6\times \frac{\left(2x+3\right)\left(3x+5\right)}{6}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 6 dalam 6 dan 6.

$$6x^{2}+19x+15=\left(2x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Nilaikan

$$\left(2x+3\right)\left(3x+5\right)$$