Selesaikan 6x^2+17x+10=0

$$6 x ^ { 2 } + 17 x + 10 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x=-2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 6x^{2}+ax+bx+10. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=17 ab=6\times 10=60$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 17.

$$a=5 b=12$$

Tulis semula 6x^{2}+17x+10 sebagai \left(6x^{2}+5x\right)+\left(12x+10\right).

$$\left(6x^{2}+5x\right)+\left(12x+10\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(6x+5\right)+2\left(6x+5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 6x+5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(6x+5\right)\left(x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 6x+5=0 dan x+2=0.

$$x=-\frac{5}{6} x=-2$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}+17x+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, 17 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Kuasa dua 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-24\times 10}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-240}}{2\times 6}$$

Tambahkan 289 pada -240.

$$x=\frac{-17±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$x=\frac{-17±7}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{-17±7}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-17±7}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan -17 pada 7.

$$x=-\frac{10}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-17±7}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada -17.

$$x=-\frac{24}{12}$$

Bahagikan -24 dengan 12.

$$x=-2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{6} x=-2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+17x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}+17x+10-10=-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}+17x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}+17x}{6}=-\frac{10}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x=-\frac{10}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x=-\frac{5}{3}$$

Bahagikan \frac{17}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{17}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{17}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{17}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=-\frac{5}{3}+\frac{289}{144}$$

Tambahkan -\frac{5}{3} pada \frac{289}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{17}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{17}{12}=-\frac{7}{12}$$

Tolak \frac{17}{12} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{5}{6} x=-2$$