Selesaikan 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 6x^{2}+ax+bx-1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -6.

$$1,-6 2,-3$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-6 b=1$$

Tulis semula 6x^{2}-5x-1 sebagai \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Faktorkan 6x dalam 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, -5 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Tambahkan 25 pada 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±7}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Bahagikan 12 dengan 12.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±7}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Menolak -1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Tolak -1 daripada 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Bahagikan -\frac{5}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Tambahkan \frac{1}{6} pada \frac{25}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Tambahkan \frac{5}{12} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$