Selesaikan 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 6x^{2}+ax+bx-5. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 7.

$$a=-3 b=10$$

Tulis semula 6x^{2}+7x-5 sebagai \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-1=0 dan 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, 7 dengan b dan -5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Kuasa dua 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Tambahkan 49 pada 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±13}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan -7 pada 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±13}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-20}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Menolak -5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Tolak -5 daripada 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Bahagikan \frac{7}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Tambahkan \frac{5}{6} pada \frac{49}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Tolak \frac{7}{12} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$