Selesaikan 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 6x^{2}+ax+bx+3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 11.

$$a=2 b=9$$

Tulis semula 6x^{2}+11x+3 sebagai \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x+1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x+1=0 dan 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, 11 dengan b dan 3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Kuasa dua 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Tambahkan 121 pada -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-11±7}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan -11 pada 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-11±7}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Menolak 3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-3}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Bahagikan \frac{11}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{11}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{11}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{11}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Tambahkan -\frac{1}{2} pada \frac{121}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Tolak \frac{11}{12} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$