Selesaikan 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0.035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 56x^{2}+ax+bx+1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -30.

$$a=-28 b=-2$$

Tulis semula 56x^{2}-30x+1 sebagai \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Faktorkan 28x dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-1=0 dan 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 56 dengan a, -30 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Kuasa dua -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Darabkan -4 kali 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Tambahkan 900 pada -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Ambil punca kuasa dua 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Nombor bertentangan -30 ialah 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Darabkan 2 kali 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{30±26}{112} apabila ± ialah plus. Tambahkan 30 pada 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Kurangkan pecahan \frac{56}{112} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{30±26}{112} apabila ± ialah minus. Tolak 26 daripada 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Kurangkan pecahan \frac{4}{112} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Membahagi dengan 56 membuat asal pendaraban dengan 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{56} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Bahagikan -\frac{15}{28} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{15}{56}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{15}{56} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{15}{56} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Tambahkan -\frac{1}{56} pada \frac{225}{3136} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Faktor x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Tambahkan \frac{15}{56} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$