Selesaikan 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3.74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5.74341649$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Darabkan 1+x dan 1+x untuk mendapatkan \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 54 dengan 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Tolak 1215 daripada kedua-dua belah.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Tolak 1215 daripada 54 untuk mendapatkan -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 54 dengan a, 108 dengan b dan -1161 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Kuasa dua 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Darabkan -4 kali 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Darabkan -216 kali -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Tambahkan 11664 pada 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Ambil punca kuasa dua 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Darabkan 2 kali 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} apabila ± ialah plus. Tambahkan -108 pada 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Bahagikan -108+162\sqrt{10} dengan 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} apabila ± ialah minus. Tolak 162\sqrt{10} daripada -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Bahagikan -108-162\sqrt{10} dengan 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Darabkan 1+x dan 1+x untuk mendapatkan \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 54 dengan 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Tolak 54 daripada kedua-dua belah.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Tolak 54 daripada 1215 untuk mendapatkan 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Membahagi dengan 54 membuat asal pendaraban dengan 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Bahagikan 108 dengan 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Kurangkan pecahan \frac{1161}{54} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Bahagikan 2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 1. Kemudian tambahkan kuasa dua 1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Kuasa dua 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Tambahkan \frac{43}{2} pada 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Faktor x^{2}+2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Permudahkan.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$