Selesaikan 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Faktor

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 52z^{2}+az+bz+3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -43.

$$a=-39 b=-4$$

Tulis semula 52z^{2}-43z+3 sebagai \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Faktorkan 13z dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4z-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Kuasa dua -43.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Darabkan -4 kali 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Darabkan -208 kali 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Tambahkan 1849 pada -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Ambil punca kuasa dua 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

Nombor bertentangan -43 ialah 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Darabkan 2 kali 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{43±35}{104} apabila ± ialah plus. Tambahkan 43 pada 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Kurangkan pecahan \frac{78}{104} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{43±35}{104} apabila ± ialah minus. Tolak 35 daripada 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{104} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{3}{4} dengan x_{1} dan \frac{1}{13} dengan x_{2}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Tolak \frac{3}{4} daripada z dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Tolak \frac{1}{13} daripada z dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Darabkan \frac{4z-3}{4} dengan \frac{13z-1}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Darabkan 4 kali 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 52 dalam 52 dan 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Nilaikan

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$