Selesaikan 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-2y=1$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=2y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Gantikan \frac{2y+1}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Darabkan 3 kali \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Tambahkan \frac{6y}{5} pada 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Tolak \frac{3}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{31}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Darabkan \frac{2}{5} kali 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Tambahkan \frac{1}{5} pada \frac{4}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Permudahkan.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Tolak 15x+25y=65 daripada 15x-6y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-25y=3-65$$

Tambahkan -6y pada -25y.

$$-31y=3-65$$

Tambahkan 3 pada -65.

$$-31y=-62$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -31.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 3x+5y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+5\times 2=13$$

Darabkan 5 kali 2.

$$3x+10=13$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$