Selesaikan 5x^2-9x+10=0

$$5 x ^ { 2 } - 9 x + 10 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{119}i}{10}\approx 0.9+1.090871211i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+9}{10}\approx 0.9-1.090871211i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}-9x+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, -9 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Kuasa dua -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\times 10}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali 10.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-200}}{2\times 5}$$

Tambahkan 81 pada -200.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-119}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua -119.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{119}i}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -9 ialah 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{119}i}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{9±\sqrt{119}i}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{9±\sqrt{119}i}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 9 pada i\sqrt{119}.

$$x=\frac{9+\sqrt{119}i}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{9±\sqrt{119}i}{10} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{119} daripada 9.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+9}{10}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{9+\sqrt{119}i}{10} x=\frac{-\sqrt{119}i+9}{10}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-9x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}-9x+10-10=-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}-9x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-9x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Bahagikan -10 dengan 5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-2$$

Bahagikan -\frac{9}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{9}{10}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{9}{10} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{9}{10} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-2+\frac{81}{100}$$

Tambahkan -2 pada \frac{81}{100}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{119}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{119}{100}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{100}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{119}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{119}i}{10}$$

Tambahkan \frac{9}{10} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{9+\sqrt{119}i}{10} x=\frac{-\sqrt{119}i+9}{10}$$