Selesaikan 5x^2-8x-13=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x - 13 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-1$$

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx-13. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -65.

$$1,-65 5,-13$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -8.

$$a=-13 b=5$$

Tulis semula 5x^{2}-8x-13 sebagai \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Faktorkan x dalam 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Faktorkan sebutan lazim 5x-13 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x-13=0 dan x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, -8 dengan b dan -13 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\left(-13\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\left(-13\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\left(-13\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -13.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+260}}{2\times 5}$$

Tambahkan 64 pada 260.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 324.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±18}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -8 ialah 8.

$$x=\frac{8±18}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{8±18}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{8±18}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 8 pada 18.

$$x=\frac{26}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{26}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{13}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{8±18}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 18 daripada 8.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Bahagikan -10 dengan 10.

$$x=-1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Tambahkan 13 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}-8x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Menolak -13 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}-8x=-\left(-13\right)$$

Tolak -13 daripada 0.

$$5x^{2}-8x=13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=\frac{13}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Bahagikan -\frac{8}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{4}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{4}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{4}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Tambahkan \frac{13}{5} pada \frac{16}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Tambahkan \frac{4}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$