Selesaikan 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 24 daripada kedua-dua belah.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx-24. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-15 b=8$$

Tulis semula 5x^{2}-7x-24 sebagai \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan 8 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-3=0 dan 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}-7x=24$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Menolak 24 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, -7 dengan b dan -24 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Tambahkan 49 pada 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±23}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Bahagikan 30 dengan 10.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±23}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 23 daripada 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{-16}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Bahagikan -\frac{7}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{10}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{10} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{10} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Tambahkan \frac{24}{5} pada \frac{49}{100} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Tambahkan \frac{7}{10} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$