Selesaikan 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx-16. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -2.

$$a=-10 b=8$$

Tulis semula 5x^{2}-2x-16 sebagai \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan 8 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-2=0 dan 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, -2 dengan b dan -16 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Tambahkan 4 pada 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±18}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Bahagikan 20 dengan 10.

$$x=2$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±18}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 18 daripada 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{-16}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Menolak -16 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Tolak -16 daripada 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Bahagikan -\frac{2}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Tambahkan \frac{16}{5} pada \frac{1}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Tambahkan \frac{1}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$