Selesaikan 5x^2+8x-4=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x - 4 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-2$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx-4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 8.

$$a=-2 b=10$$

Tulis semula 5x^{2}+8x-4 sebagai \left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5x-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x-2\right)\left(x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x-2=0 dan x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 8 dengan b dan -4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Tambahkan 64 pada 80.

$$x=\frac{-8±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 144.

$$x=\frac{-8±12}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-8±12}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-8±12}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -8 pada 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{4}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-8±12}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 12 daripada -8.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Bahagikan -20 dengan 10.

$$x=-2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}+8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Menolak -4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}+8x=-\left(-4\right)$$

Tolak -4 daripada 0.

$$5x^{2}+8x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=\frac{4}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Bahagikan \frac{8}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{4}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{4}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{4}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Tambahkan \frac{4}{5} pada \frac{16}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Tolak \frac{4}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$