Selesaikan 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -15.

$$-1,15 -3,5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 14.

$$a=-1 b=15$$

Tulis semula x^{2}+14x-15 sebagai \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 15 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 70 dengan b dan -75 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Tambahkan 4900 pada 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-70±80}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -70 pada 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Bahagikan 10 dengan 10.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-70±80}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 80 daripada -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Bahagikan -150 dengan 10.

$$x=-15$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=-15$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Tambahkan 75 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Menolak -75 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Tolak -75 daripada 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Bahagikan 70 dengan 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Bahagikan 75 dengan 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Bahagikan 14 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 7. Kemudian tambahkan kuasa dua 7 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Kuasa dua 7.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Tambahkan 15 pada 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Faktor x^{2}+14x+49. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Permudahkan.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=-15$$