Selesaikan 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0.6+1.280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0.6-1.280624847i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 6 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Tambahkan 36 pada -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -6 pada 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Bahagikan -6+2i\sqrt{41} dengan 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{41} daripada -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Bahagikan -6-2i\sqrt{41} dengan 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Bahagikan -10 dengan 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Bahagikan \frac{6}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Tambahkan -2 pada \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Tolak \frac{3}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$