Selesaikan 5x^2+57x-36=0

$$5 x ^ { 2 } + 57 x - 36 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-12$$

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx-36. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=57 ab=5\left(-36\right)=-180$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 57.

$$a=-3 b=60$$

Tulis semula 5x^{2}+57x-36 sebagai \left(5x^{2}-3x\right)+\left(60x-36\right).

$$\left(5x^{2}-3x\right)+\left(60x-36\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 12 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(5x-3\right)+12\left(5x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x-3\right)\left(x+12\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x-3=0 dan x+12=0.

$$x=\frac{3}{5} x=-12$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}+57x-36=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 57 dengan b dan -36 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-57±\sqrt{57^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 57.

$$x=\frac{-57±\sqrt{3249-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-57±\sqrt{3249-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -36.

$$x=\frac{-57±\sqrt{3249+720}}{2\times 5}$$

Tambahkan 3249 pada 720.

$$x=\frac{-57±\sqrt{3969}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 3969.

$$x=\frac{-57±63}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-57±63}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-57±63}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -57 pada 63.

$$x=\frac{6}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-57±63}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 63 daripada -57.

$$x=-\frac{120}{10}$$

Bahagikan -120 dengan 10.

$$x=-12$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{5} x=-12$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+57x-36=0$$

Tambahkan 36 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}+57x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Menolak -36 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}+57x=-\left(-36\right)$$

Tolak -36 daripada 0.

$$5x^{2}+57x=36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+57x}{5}=\frac{36}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{57}{5}x=\frac{36}{5}$$

Bahagikan \frac{57}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{57}{10}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{57}{10} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{57}{5}x+\left(\frac{57}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(\frac{57}{10}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{57}{10} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{57}{5}x+\frac{3249}{100}=\frac{36}{5}+\frac{3249}{100}$$

Tambahkan \frac{36}{5} pada \frac{3249}{100} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{57}{5}x+\frac{3249}{100}=\frac{3969}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{57}{5}x+\frac{3249}{100}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{57}{10}\right)^{2}=\frac{3969}{100}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{57}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3969}{100}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{57}{10}=\frac{63}{10} x+\frac{57}{10}=-\frac{63}{10}$$

Tolak \frac{57}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{5} x=-12$$