Selesaikan 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0.4+0.663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0.4-0.663324958i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 4 dengan b dan 3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

Tambahkan 16 pada -60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua -44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

Bahagikan -4+2i\sqrt{11} dengan 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{11} daripada -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

Bahagikan -4-2i\sqrt{11} dengan 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

Menolak 3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}+4x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Bahagikan \frac{4}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{2}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{2}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{2}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Tambahkan -\frac{3}{5} pada \frac{4}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

Tolak \frac{2}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$