Selesaikan 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 3 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Tambahkan 9 pada -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -3 pada i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{11} daripada -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Bahagikan \frac{3}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{10}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{10} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{10} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Tambahkan -\frac{1}{5} pada \frac{9}{100} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Tolak \frac{3}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$