Selesaikan 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx+4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 21.

$$a=1 b=20$$

Tulis semula 5x^{2}+21x+4 sebagai \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5x+1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x+1=0 dan x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 21 dengan b dan 4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Tambahkan 441 pada -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-21±19}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -21 pada 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-21±19}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 19 daripada -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Bahagikan -40 dengan 10.

$$x=-4$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Menolak 4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Bahagikan \frac{21}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{21}{10}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{21}{10} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{21}{10} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Tambahkan -\frac{4}{5} pada \frac{441}{100} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Tolak \frac{21}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$