Selesaikan 5x^2+2x+8=0

$$5 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}\approx -0.2+1.2489996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}\approx -0.2-1.2489996i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 2 dengan b dan 8 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\times 8}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-160}}{2\times 5}$$

Tambahkan 4 pada -160.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-156}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua -156.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -2 pada 2i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{39}i}{10}$$

Bahagikan -2+2i\sqrt{39} dengan 10.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{39} daripada -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-2}{10}$$

Bahagikan -2-2i\sqrt{39} dengan 10.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}+2x+8-8=-8$$

Menolak 8 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}+2x=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=-\frac{8}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=-\frac{8}{5}$$

Bahagikan \frac{2}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}$$

Tambahkan -\frac{8}{5} pada \frac{1}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{39}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{39}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{25}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{39}i}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{39}i}{5}$$

Tolak \frac{1}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$