Selesaikan 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Selesaikan untuk t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15.769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1.369714114$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, -72 dengan b dan -108 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Tambahkan 5184 pada 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -72 ialah 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 72 pada 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Bahagikan 72+12\sqrt{51} dengan 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 12\sqrt{51} daripada 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Bahagikan 72-12\sqrt{51} dengan 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Tambahkan 108 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Menolak -108 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Tolak -108 daripada 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Bahagikan -\frac{72}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{36}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{36}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{36}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Tambahkan \frac{108}{5} pada \frac{1296}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Faktor t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Permudahkan.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Tambahkan \frac{36}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$