Selesaikan 5(1+x)=2x^2-2

$$5 ( 1 + x ) = 2 x ^ { 2 } - 2$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$x=-1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan 1+x.

$$5+5x=2x^{2}-2$$

Tolak 2x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$5+5x-2x^{2}=-2$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah.

$$5+5x-2x^{2}+2=0$$

Tambahkan 5 dan 2 untuk dapatkan 7.

$$7+5x-2x^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-2x^{2}+5x+7=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -2x^{2}+ax+bx+7. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=-2\times 7=-14$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -14.

$$-1,14 -2,7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=7 b=-2$$

Tulis semula -2x^{2}+5x+7 sebagai \left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-7\right)\left(-x-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-7=0 dan -x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan 1+x.

$$5+5x=2x^{2}-2$$

Tolak 2x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$5+5x-2x^{2}=-2$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah.

$$5+5x-2x^{2}+2=0$$

Tambahkan 5 dan 2 untuk dapatkan 7.

$$7+5x-2x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-2x^{2}+5x+7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -2 dengan a, 5 dengan b dan 7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\times 7}}{2\left(-2\right)}$$

Kuasa dua 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\times 7}}{2\left(-2\right)}$$

Darabkan -4 kali -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\times 7}}{2\left(-2\right)}$$

Darabkan 8 kali 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\left(-2\right)}$$

Tambahkan 25 pada 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\left(-2\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\left(-2\right)}$$

Darabkan 2 kali -2.

$$x=\frac{-5±9}{-4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±9}{-4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 9.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Bahagikan 4 dengan -4.

$$x=-1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±9}{-4} apabila ± ialah minus. Tolak 9 daripada -5.

$$x=-\frac{14}{-4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{-4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-1 x=\frac{7}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan 1+x.

$$5+5x=2x^{2}-2$$

Tolak 2x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$5+5x-2x^{2}=-2$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah.

$$5x-2x^{2}=-2-5$$

Tolak 5 daripada -2 untuk mendapatkan -7.

$$5x-2x^{2}=-7$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+5x=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=-\frac{7}{-2}$$

Membahagi dengan -2 membuat asal pendaraban dengan -2.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=-\frac{7}{-2}$$

Bahagikan 5 dengan -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{7}{-2}$$

Bahagikan -7 dengan -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Bahagikan -\frac{5}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada \frac{25}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{7}{2} x=-1$$