Selesaikan 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx-2184. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-105 b=104$$

Tulis semula 5x^{2}-x-2184 sebagai \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan 104 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-21 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-21=0 dan 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, -1 dengan b dan -2184 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Tambahkan 1 pada 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±209}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Bahagikan 210 dengan 10.

$$x=21$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±209}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 209 daripada 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{-208}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Tambahkan 2184 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Menolak -2184 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Tolak -2184 daripada 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Bahagikan -\frac{1}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{10}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{10} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{10} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Tambahkan \frac{2184}{5} pada \frac{1}{100} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Tambahkan \frac{1}{10} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$