Selesaikan 5x^2-8x(2+14x)=108-x

$$5 { x }^{ 2 } -8x(2+14x)=108-x$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}\approx -0.070093458-1.0022139i$$

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}\approx -0.070093458+1.0022139i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Tolak 108 daripada kedua-dua belah.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108=-x$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108+x=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -8x dengan 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}-108+x=0$$

Gabungkan 5x^{2} dan -112x^{2} untuk mendapatkan -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x-108+x=0$$

Gabungkan -16x dan x untuk mendapatkan -15x.

$$-107x^{2}-15x-108=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -107 dengan a, -15 dengan b dan -108 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Kuasa dua -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Darabkan -4 kali -107.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+428\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Darabkan 428 kali -108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-46224}}{2\left(-107\right)}$$

Tambahkan 225 pada -46224.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-45999}}{2\left(-107\right)}$$

Ambil punca kuasa dua -45999.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Nombor bertentangan -15 ialah 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Darabkan 2 kali -107.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214} apabila ± ialah plus. Tambahkan 15 pada 3i\sqrt{5111}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Bahagikan 15+3i\sqrt{5111} dengan -214.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214} apabila ± ialah minus. Tolak 3i\sqrt{5111} daripada 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i+15}{-214}$$

Bahagikan 15-3i\sqrt{5111} dengan -214.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214} x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)+x=108$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -8x dengan 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}+x=108$$

Gabungkan 5x^{2} dan -112x^{2} untuk mendapatkan -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x+x=108$$

Gabungkan -16x dan x untuk mendapatkan -15x.

$$-107x^{2}-15x=108$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -107.

$$\frac{-107x^{2}-15x}{-107}=\frac{108}{-107}$$

Membahagi dengan -107 membuat asal pendaraban dengan -107.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-107}\right)x=\frac{108}{-107}$$

Bahagikan -15 dengan -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=\frac{108}{-107}$$

Bahagikan 108 dengan -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=-\frac{108}{107}$$

Bahagikan \frac{15}{107} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{15}{214}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{15}{214} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{108}{107}+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{15}{214} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{108}{107}+\frac{225}{45796}$$

Tambahkan -\frac{108}{107} pada \frac{225}{45796} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{45999}{45796}$$

Faktor x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{45999}{45796}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{45999}{45796}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{15}{214}=\frac{3\sqrt{5111}i}{214} x+\frac{15}{214}=-\frac{3\sqrt{5111}i}{214}$$

Tolak \frac{15}{214} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214} x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$