Selesaikan 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0.4+0.916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0.4-0.916515139i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, -4 dengan b dan 5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Kuasa dua -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

Tambahkan 16 pada -100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua -84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -4 ialah 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 4 pada 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

Bahagikan 4+2i\sqrt{21} dengan 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{21} daripada 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

Bahagikan 4-2i\sqrt{21} dengan 10.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

Menolak 5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}-4x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Bahagikan -5 dengan 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

Bahagikan -\frac{4}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{2}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{2}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{2}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

Tambahkan -1 pada \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

Tambahkan \frac{2}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$