Selesaikan 5x^2-41x+42

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Faktor

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx+42. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 210.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -41.

$$a=-35 b=-6$$

Tulis semula 5x^{2}-41x+42 sebagai \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan -6 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Kuasa dua -41.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali 42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

Tambahkan 1681 pada -840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -41 ialah 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{41±29}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 41 pada 29.

$$x=\frac{70}{10}$$

Bahagikan 70 dengan 10.

$$x=7$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{41±29}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 29 daripada 41.

$$x=\frac{12}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan 7 dengan x_{1} dan \frac{6}{5} dengan x_{2}.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Tolak \frac{6}{5} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 5 dalam 5 dan 5.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Nilaikan

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$