Selesaikan 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx-42. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -29.

$$a=-35 b=6$$

Tulis semula 5x^{2}-29x-42 sebagai \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan 6 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-7=0 dan 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, -29 dengan b dan -42 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Tambahkan 841 pada 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -29 ialah 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{29±41}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 29 pada 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Bahagikan 70 dengan 10.

$$x=7$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{29±41}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 41 daripada 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Tambahkan 42 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Menolak -42 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Tolak -42 daripada 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Bahagikan -\frac{29}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{29}{10}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{29}{10} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{29}{10} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Tambahkan \frac{42}{5} pada \frac{841}{100} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Tambahkan \frac{29}{10} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$