Selesaikan 5x^2+10x-75=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -15.

$$-1,15 -3,5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 2.

$$a=-3 b=5$$

Tulis semula x^{2}+2x-15 sebagai \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-3=0 dan x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 10 dengan b dan -75 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Tambahkan 100 pada 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 1600.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±40}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -10 pada 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Bahagikan 30 dengan 10.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±40}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 40 daripada -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Bahagikan -50 dengan 10.

$$x=-5$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3 x=-5$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Tambahkan 75 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Menolak -75 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

Tolak -75 daripada 0.

$$5x^{2}+10x=75$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

Bahagikan 10 dengan 5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

Bahagikan 75 dengan 5.

$$x^{2}+2x=15$$

Bahagikan 2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 1. Kemudian tambahkan kuasa dua 1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Kuasa dua 1.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Tambahkan 15 pada 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Faktor x^{2}+2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Permudahkan.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=-5$$