Selesaikan 4x-3x^2+15=0

$$4x-3 { x }^{ 2 } +15=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -3x^{2}+ax+bx+15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 4.

$$a=9 b=-5$$

Tulis semula -3x^{2}+4x+15 sebagai \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim -x+3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan -x+3=0 dan 3x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -3 dengan a, 4 dengan b dan 15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan -4 kali -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 12 kali 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

Tambahkan 16 pada 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 196.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 2 kali -3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±14}{-6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 14.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Kurangkan pecahan \frac{10}{-6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±14}{-6} apabila ± ialah minus. Tolak 14 daripada -4.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Bahagikan -18 dengan -6.

$$x=3$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{3} x=3$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x^{2}+4x+15-15=-15$$

Menolak 15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-3x^{2}+4x=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{15}{-3}$$

Membahagi dengan -3 membuat asal pendaraban dengan -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{15}{-3}$$

Bahagikan 4 dengan -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{15}{-3}$$

Bahagikan -15 dengan -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

Bahagikan -\frac{4}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{2}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{2}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Tambahkan 5 pada \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$