Selesaikan 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0.306122449+0.645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0.306122449-0.645362788i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 49 dengan a, 30 dengan b dan 25 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Kuasa dua 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Darabkan -4 kali 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Darabkan -196 kali 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Tambahkan 900 pada -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Ambil punca kuasa dua -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Darabkan 2 kali 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} apabila ± ialah plus. Tambahkan -30 pada 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Bahagikan -30+20i\sqrt{10} dengan 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} apabila ± ialah minus. Tolak 20i\sqrt{10} daripada -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Bahagikan -30-20i\sqrt{10} dengan 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Menolak 25 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Membahagi dengan 49 membuat asal pendaraban dengan 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Bahagikan \frac{30}{49} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{15}{49}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{15}{49} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{15}{49} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Tambahkan -\frac{25}{49} pada \frac{225}{2401} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Faktor x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Tolak \frac{15}{49} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$