Selesaikan 49v^2+112v+64

$$49 v ^ { 2 } + 112 v + 64$$

Faktor

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 49v^{2}+av+bv+64. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=112 ab=49\times 64=3136$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 3136.

$$1,3136 2,1568 4,784 7,448 8,392 14,224 16,196 28,112 32,98 49,64 56,56$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+3136=3137 2+1568=1570 4+784=788 7+448=455 8+392=400 14+224=238 16+196=212 28+112=140 32+98=130 49+64=113 56+56=112$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 112.

$$a=56 b=56$$

Tulis semula 49v^{2}+112v+64 sebagai \left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right).

$$\left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right)$$

Faktorkan 7v dalam kumpulan pertama dan 8 dalam kumpulan kedua.

$$7v\left(7v+8\right)+8\left(7v+8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 7v+8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Langkah Menggunakan Kuasa Dua Binomial

Trinomial ini mempunyai bentuk kuasa dua trinomial, mungkin didarabkan dengan faktor sepunya. Kuasa dua trinomial boleh difaktorkan dengan mencari punca kuasa dua sebutan pendahulu dan sebutan pengekor.

$$factor(49v^{2}+112v+64)$$

Cari faktor sepunya terbesar pekali.

$$gcf(49,112,64)=1$$

Cari punca kuasa dua sebutan pendahulu, 49v^{2}.

$$\sqrt{49v^{2}}=7v$$

Cari punca kuasa dua sebutan pengekor, 64.

$$\sqrt{64}=8$$

Kuasa dua trinomial ialah kuasa dua binomial iaitu hasil tambah atau beza punca kuasa dua sebutan pendahulu dan pengekor dengan tanda yang ditentukan oleh tanda sebutan tengah kuasa dua trinomial.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$49v^{2}+112v+64=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$v=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

Kuasa dua 112.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

Darabkan -4 kali 49.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-196\times 64}}{2\times 49}$$

Darabkan -196 kali 64.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-12544}}{2\times 49}$$

Tambahkan 12544 pada -12544.

$$v=\frac{-112±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$v=\frac{-112±0}{2\times 49}$$

Darabkan 2 kali 49.

$$v=\frac{-112±0}{98}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan -\frac{8}{7} dengan x_{1} dan -\frac{8}{7} dengan x_{2}.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v+\frac{8}{7}\right)\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Tambahkan \frac{8}{7} pada v dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Tambahkan \frac{8}{7} pada v dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\times \frac{7v+8}{7}$$

Darabkan \frac{7v+8}{7} dengan \frac{7v+8}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{7\times 7}$$

Darabkan 7 kali 7.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{49}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 49 dalam 49 dan 49.

$$49v^{2}+112v+64=\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Nilaikan

$$\left(7v+8\right)^{2}$$