Selesaikan 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Selesaikan untuk t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai t^{2}+at+bt-4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -4.

$$1,-4 2,-2$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -3.

$$a=-4 b=1$$

Tulis semula t^{2}-3t-4 sebagai \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Faktorkan t dalam t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Faktorkan sebutan lazim t-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan t-4=0 dan t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 49 dengan a, -147 dengan b dan -196 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Kuasa dua -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Darabkan -4 kali 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Darabkan -196 kali -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Tambahkan 21609 pada 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Ambil punca kuasa dua 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

Nombor bertentangan -147 ialah 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Darabkan 2 kali 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{147±245}{98} apabila ± ialah plus. Tambahkan 147 pada 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Bahagikan 392 dengan 98.

$$t=4$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{147±245}{98} apabila ± ialah minus. Tolak 245 daripada 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Bahagikan -98 dengan 98.

$$t=-1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$t=4 t=-1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Tambahkan 196 pada kedua-dua belah persamaan.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Menolak -196 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Tolak -196 daripada 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Membahagi dengan 49 membuat asal pendaraban dengan 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Bahagikan -147 dengan 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Bahagikan 196 dengan 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Bahagikan -3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Tambahkan 4 pada \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Permudahkan.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$t=4 t=-1$$