Selesaikan 49n^2+168n+144

$$49 n ^ { 2 } + 168 n + 144$$

Faktor

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 49n^{2}+an+bn+144. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=168 ab=49\times 144=7056$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 7056.

$$1,7056 2,3528 3,2352 4,1764 6,1176 7,1008 8,882 9,784 12,588 14,504 16,441 18,392 21,336 24,294 28,252 36,196 42,168 48,147 49,144 56,126 63,112 72,98 84,84$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+7056=7057 2+3528=3530 3+2352=2355 4+1764=1768 6+1176=1182 7+1008=1015 8+882=890 9+784=793 12+588=600 14+504=518 16+441=457 18+392=410 21+336=357 24+294=318 28+252=280 36+196=232 42+168=210 48+147=195 49+144=193 56+126=182 63+112=175 72+98=170 84+84=168$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 168.

$$a=84 b=84$$

Tulis semula 49n^{2}+168n+144 sebagai \left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right).

$$\left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right)$$

Faktorkan 7n dalam kumpulan pertama dan 12 dalam kumpulan kedua.

$$7n\left(7n+12\right)+12\left(7n+12\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 7n+12 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Langkah Menggunakan Kuasa Dua Binomial

Trinomial ini mempunyai bentuk kuasa dua trinomial, mungkin didarabkan dengan faktor sepunya. Kuasa dua trinomial boleh difaktorkan dengan mencari punca kuasa dua sebutan pendahulu dan sebutan pengekor.

$$factor(49n^{2}+168n+144)$$

Cari faktor sepunya terbesar pekali.

$$gcf(49,168,144)=1$$

Cari punca kuasa dua sebutan pendahulu, 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Cari punca kuasa dua sebutan pengekor, 144.

$$\sqrt{144}=12$$

Kuasa dua trinomial ialah kuasa dua binomial iaitu hasil tambah atau beza punca kuasa dua sebutan pendahulu dan pengekor dengan tanda yang ditentukan oleh tanda sebutan tengah kuasa dua trinomial.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}+168n+144=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$n=\frac{-168±\sqrt{168^{2}-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Kuasa dua 168.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Darabkan -4 kali 49.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-196\times 144}}{2\times 49}$$

Darabkan -196 kali 144.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-28224}}{2\times 49}$$

Tambahkan 28224 pada -28224.

$$n=\frac{-168±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$n=\frac{-168±0}{2\times 49}$$

Darabkan 2 kali 49.

$$n=\frac{-168±0}{98}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan -\frac{12}{7} dengan x_{1} dan -\frac{12}{7} dengan x_{2}.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n+\frac{12}{7}\right)\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Tambahkan \frac{12}{7} pada n dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Tambahkan \frac{12}{7} pada n dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\times \frac{7n+12}{7}$$

Darabkan \frac{7n+12}{7} dengan \frac{7n+12}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{7\times 7}$$

Darabkan 7 kali 7.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{49}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 49 dalam 49 dan 49.

$$49n^{2}+168n+144=\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Nilaikan

$$\left(7n+12\right)^{2}$$