Selesaikan 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 42x^{2}+ax+bx-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-14 b=9$$

Tulis semula 42x^{2}-5x-3 sebagai \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Faktorkan 14x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-1=0 dan 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 42 dengan a, -5 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Darabkan -4 kali 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Darabkan -168 kali -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Tambahkan 25 pada 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Ambil punca kuasa dua 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Darabkan 2 kali 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±23}{84} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Kurangkan pecahan \frac{28}{84} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±23}{84} apabila ± ialah minus. Tolak 23 daripada 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{84} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Menolak -3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Tolak -3 daripada 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Membahagi dengan 42 membuat asal pendaraban dengan 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Kurangkan pecahan \frac{3}{42} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Bahagikan -\frac{5}{42} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{84}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{84} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{84} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Tambahkan \frac{1}{14} pada \frac{25}{7056} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Tambahkan \frac{5}{84} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$