Selesaikan 42m^2-89m-21

$$42 m ^ { 2 } - 89 m - 21$$

Faktor

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 42m^{2}+am+bm-21. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-89 ab=42\left(-21\right)=-882$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -882.

$$1,-882 2,-441 3,-294 6,-147 7,-126 9,-98 14,-63 18,-49 21,-42$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-882=-881 2-441=-439 3-294=-291 6-147=-141 7-126=-119 9-98=-89 14-63=-49 18-49=-31 21-42=-21$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -89.

$$a=-98 b=9$$

Tulis semula 42m^{2}-89m-21 sebagai \left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right).

$$\left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right)$$

Faktorkan 14m dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$14m\left(3m-7\right)+3\left(3m-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3m-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$42m^{2}-89m-21=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{\left(-89\right)^{2}-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Kuasa dua -89.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Darabkan -4 kali 42.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-168\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Darabkan -168 kali -21.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921+3528}}{2\times 42}$$

Tambahkan 7921 pada 3528.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{11449}}{2\times 42}$$

Ambil punca kuasa dua 11449.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±107}{2\times 42}$$

Nombor bertentangan -89 ialah 89.

$$m=\frac{89±107}{2\times 42}$$

Darabkan 2 kali 42.

$$m=\frac{89±107}{84}$$

Sekarang selesaikan persamaan m=\frac{89±107}{84} apabila ± ialah plus. Tambahkan 89 pada 107.

$$m=\frac{196}{84}$$

Kurangkan pecahan \frac{196}{84} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 28.

$$m=\frac{7}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan m=\frac{89±107}{84} apabila ± ialah minus. Tolak 107 daripada 89.

$$m=-\frac{18}{84}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{84} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$m=-\frac{3}{14}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{7}{3} dengan x_{1} dan -\frac{3}{14} dengan x_{2}.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m-\left(-\frac{3}{14}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Tolak \frac{7}{3} daripada m dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Tambahkan \frac{3}{14} pada m dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\times \frac{14m+3}{14}$$

Darabkan \frac{3m-7}{3} dengan \frac{14m+3}{14} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{3\times 14}$$

Darabkan 3 kali 14.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{42}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 42 dalam 42 dan 42.

$$42m^{2}-89m-21=\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Nilaikan

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$