Selesaikan 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22.807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2.192235936$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2x dengan 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Gabungkan 40x dan 60x untuk mendapatkan 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Tolak 200 daripada kedua-dua belah.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -4 dengan a, 100 dengan b dan -200 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kuasa dua 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Darabkan -4 kali -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Darabkan 16 kali -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Tambahkan 10000 pada -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Darabkan 2 kali -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -100 pada 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Bahagikan -100+20\sqrt{17} dengan -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} apabila ± ialah minus. Tolak 20\sqrt{17} daripada -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Bahagikan -100-20\sqrt{17} dengan -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2x dengan 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Gabungkan 40x dan 60x untuk mendapatkan 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Membahagi dengan -4 membuat asal pendaraban dengan -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Bahagikan 100 dengan -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Bahagikan 200 dengan -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Bahagikan -25 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{25}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{25}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{25}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Tambahkan -50 pada \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Faktor x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Tambahkan \frac{25}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$