Selesaikan 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 40x^{2}+ax+bx+1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -14.

$$a=-10 b=-4$$

Tulis semula 40x^{2}-14x+1 sebagai \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Faktorkan 10x dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4x-1=0 dan 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 40 dengan a, -14 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Kuasa dua -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Darabkan -4 kali 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Tambahkan 196 pada -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Ambil punca kuasa dua 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Nombor bertentangan -14 ialah 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Darabkan 2 kali 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±6}{80} apabila ± ialah plus. Tambahkan 14 pada 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Kurangkan pecahan \frac{20}{80} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±6}{80} apabila ± ialah minus. Tolak 6 daripada 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{80} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Membahagi dengan 40 membuat asal pendaraban dengan 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Bahagikan -\frac{7}{20} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{40}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{40} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{40} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Tambahkan -\frac{1}{40} pada \frac{49}{1600} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Tambahkan \frac{7}{40} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$